Was ist eine Permutation?
Der Begriff Permutation bezieht sich auf eine mathematische Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten, wie eine bestimmte Menge angeordnet werden kann. Einfach ausgedrückt, ist eine Permutation ein Wort, das die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, wie Dinge geordnet oder angeordnet werden können. Bei Permutationen kommt es auf die Reihenfolge der Anordnung an. Es gibt drei verschiedene Arten von Permutationen, darunter eine ohne Wiederholung und eine mit Wiederholung. Permutationen unterscheiden sich von Kombinationen, bei denen die Daten aus einer Gruppe ausgewählt werden und die Reihenfolge keine Rolle spielt.
SCHLUSSFOLGERUNGEN
- Eine Permutation ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie eine Menge angeordnet werden kann, oder die Anzahl der Möglichkeiten, wie Dinge angeordnet werden können.
- Bei einer Permutation kommt es auf die Reihenfolge der Zahlen an.
- Die wichtigsten Arten von Permutationen sind Permutationen mit und ohne Wiederholung, aber auch Permutationen mit mehreren Mengen und zirkuläre Permutationen sind weniger verbreitet.
- Es ist möglich, aus einer einzigen Kombination mehrere Permutationen zu bilden.
- Permutationen unterscheiden sich von Kombinationen, die eine Auswahl von Daten aus einer Gruppe darstellen, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt.
Permutationen verstehen
Permutationen sind Begriffe aus der Mathematik. Sie stellen eine Vielzahl von Anordnungen dar, die in einer Gruppe möglich sein können. Die Reihenfolge ist bei Permutationen sehr wichtig. Das unterscheidet sie von einer Kombination, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt. In gewisser Weise sind Permutationen eine Form von geordneten Kombinationen. Auf Kombinationen gehen wir weiter unten etwas ausführlicher ein.
Es gibt eine Möglichkeit, Permutationen mit Hilfe einer Formel zu berechnen. Diese Formel lautet:
P(n,r) = n! ÷ (n-r)!
wobei
- n = Gesamtzahl der Elemente in der Menge;
- r = für die Permutation genommene Elemente;
- «!» bedeutet, den Faktor zu nehmen
Der verallgemeinerte Ausdruck der Formel lautet: «Auf wie viele Arten kann man ‹r› aus einer Menge von ’n› anordnen, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt?»
Eine Permutation kann auch von Hand berechnet werden, wobei alle möglichen Permutationen ausgeschrieben werden. Bei einer Kombination, die manchmal mit einer Permutation verwechselt wird, kann die Reihenfolge der Elemente beliebig sein.
Ein einfacher Ansatz zur Veranschaulichung einer Permutation ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie eine Sequenz eines dreistelligen Tastenfeldes angeordnet werden kann. Bei Verwendung der Ziffern Null (0) bis Neun (9) und der einmaligen Verwendung einer bestimmten Ziffer auf der Tastatur ergibt sich die Anzahl der Permutationen:
P(10,3) = 10! ÷ (10-3)! = 10! ÷ 7! = 10 x 9 x 8 = 720
Die Reihenfolge spielt hier eine Rolle, da eine Permutation eher die Anzahl der Zifferneinträge als eine Kombination ergibt.
Permutationen vs. Kombinationen
Sowohl Permutationen als auch Kombinationen betreffen eine Gruppe von Elementen. Bei Permutationen spielt die Reihenfolge der Daten eine Rolle. Denken Sie an die Reihenfolge der Kombination für einen Safe. Sie müssen die richtige Reihenfolge haben, um ihn zu öffnen. Sie muss also genau so eingegeben werden, wie es im Skript steht, sonst funktioniert es nicht.
Ein verwirrendes Beispiel, denn sichere Kombinationen sind eigentlich keine Kombinationen. Kombinationen beruhen nicht auf einer Reihenfolge oder Sequenz, was bedeutet, dass die Daten in einer Gruppe auf jede beliebige Weise angeordnet werden können, auch zufällig. Bei der Festlegung von Kombinationen gibt es jedoch keine Absicht. Sie sind völlig zufällig. Stellen Sie sich vor, Sie wählen aus der Mittagskarte Ihres örtlichen Restaurants etwas für Ihre Mahlzeit aus.
Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen Permutationen und Kombinationen ist die Art der Daten. Permutationen basieren auf einer Liste von Dingen, weshalb die Reihenfolge wichtig ist. Das können Ziffern, Buchstaben oder Personen sein. Kombinationen hingegen beruhen auf einer Gruppe von Dingen, wie z. B. der Speisekarte in Ihrem Lieblingsrestaurant. Deshalb spielt die Reihenfolge auch keine Rolle. Es kann sich also um eine Auswahl von Personen aus einer Sportmannschaft oder um die Auswahl von Gegenständen aus einer Restaurantkarte handeln.
| Unterschiede zwischen Permutationen und Kombinationen | |
|---|---|
| Permutationen | Kombinationen |
| Die Daten werden aus einer Liste ausgewählt | Daten werden aus einer Gruppe ausgewählt |
| Es gibt eine Anordnung von Daten | Es gibt eine Auswahl von Daten |
| Die Reihenfolge ist wichtig | Die Reihenfolge spielt keine Rolle |
| Aus einer Kombination sind mehrere Permutationen möglich | Eine Kombination ist aus einer Permutation möglich |
Arten von Permutationen
Es gibt verschiedene Arten von Permutationen. Die zwei wichtigsten Arten von Permutationen sind:
- Permutationen mit Wiederholungen. Mit der Wiederholung können Sie verschiedene Kombinationen mit unterschiedlichen Objekten erstellen. Die Daten sind nicht darauf beschränkt, wie oft sie erscheinen können, so dass Sie die Daten mehr als einmal verwenden können.
- Permutationen ohne Wiederholung. In diesem Fall wird jedes Mal, wenn Sie eine neue Permutation finden müssen, ein Element aus der Liste entfernt. Einfach ausgedrückt: Die Auswahl an Permutationen wird immer kleiner.
Es gibt noch einige andere, weniger gebräuchliche Arten von Permutationen, z. B. Permutationen unter Verwendung von Multisets (d. h. Elementen in einer Liste, die nicht unterscheidbar sind) und zyklische oder kreisförmige Permutationen oder die Anzahl der Möglichkeiten, wie eine Anzahl von Elementen um einen Kreis herum angeordnet werden kann.
Beispiele für Permutationen
Hier sind ein paar Beispiele, die zeigen, wie Permutationen funktionieren. Die ersten beiden stammen aus dem Finanz- und Wirtschaftsbereich. Nehmen wir an, ein Portfoliomanager wählte 100 Unternehmen für einen neuen Fonds aus, der aus 25 Aktien bestehen soll. Diese 25 Aktien werden nicht gleichgewichtet sein, was bedeutet, dass es eine Reihenfolge geben wird. Die Anzahl der Möglichkeiten, den Fonds zu ordnen, wird sein:
P(100,25) = 100! ÷ (100-25)! = 100! ÷ 75! = 3.76E + 48
Damit bleibt dem Portfoliomanager eine Menge Arbeit für die Konstruktion seines Fonds.
Ein einfacheres Beispiel wäre, wenn ein Unternehmen sein Lagernetz landesweit ausbauen möchte. Das Unternehmen wird sich auf drei von fünf möglichen Standorten festlegen. Die Reihenfolge ist wichtig, weil die Standorte nacheinander gebaut werden. Die Anzahl der Permutationen ist:
P(5,3) = 5! ÷ (5-3)! = 5! ÷ 2! = 60
In der realen Welt gibt es zahlreiche Beispiele für Permutationen.
- Wie bereits erwähnt, sind sichere Kombinationen eigentlich Permutationen. Das liegt daran, dass die Reihenfolge der Zahlen wichtig ist. Sie können einen Safe oder ein Schließfach nicht öffnen, wenn Sie nicht die richtige Reihenfolge haben.
- Ein weiteres gängiges Beispiel ist ein Anagramm, bei dem man verschiedene Wörter aus demselben Wortstamm bildet. Auch hier kommt es auf die Reihenfolge an, denn man muss in der Lage sein, ein richtiges Wort zu bilden, nicht nur eine zufällige Abfolge von Buchstaben.
- Auswahl der Reihenfolge, in der die Teilnehmer ein Rennen beenden. Mit Hilfe von Faktoren können Sie den ersten, zweiten und dritten Platz bestimmen, ganz zu schweigen von der Reihenfolge der anderen Teilnehmer.
Was bedeutet eine Permutation?
Eine Permutation ist ein Konzept in der Mathematik, das die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, wie ein bestimmter Satz von Daten angeordnet werden kann. Einfach ausgedrückt, handelt es sich um die Anzahl der Möglichkeiten, wie Daten geordnet werden können. Diese Daten werden im Allgemeinen aus einer Liste entnommen. Bei Permutationen kommt es auf die Reihenfolge des Datensatzes an, wie z. B. bei der Kombination eines Safes oder Schließfachs.
Was sind die 4 Arten von Permutationen?
Die vier Arten von Permutationen sind Permutationen mit Wiederholungen, Permutationen ohne Wiederholungen, Permutationen mit Mehrfachmengen und kreisförmige Permutationen.
Was ist der Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination?
Es gibt mehrere wichtige Unterschiede zwischen Permutationen und Kombinationen. Während eine Permutation eine Anordnung von Daten ist, die von der Reihenfolge abhängt, ist eine Kombination eine Auswahl von Daten, bei der die Reihenfolge keine Rolle spielt. Die Daten für Permutationen werden im Allgemeinen aus einer Liste ausgewählt, während die Daten für eine Kombination aus einer Gruppe von Elementen stammen – denken Sie bei Permutationen an eine Liste von Rennfahrern und bei einer Kombination an eine Gruppe von Teammitgliedern.
Die Quintessenz
Mathematische Konzepte können recht einfach zu verstehen sein. Eine Permutation ist ein Konzept, das die Anordnung einer Vielzahl von Datensätzen aus einer größeren Liste von Daten darstellt. Die Reihenfolge ist dabei sehr wichtig. Permutationen werden oft mit Kombinationen verwechselt, die eine Auswahl von Daten aus einer Gruppe von Dingen darstellen. Permutationen können für Finanzfachleute und Anleger gleichermaßen nützlich sein, wenn sie versuchen, Investitionen für ein Portfolio auszuwählen.
